Introducción Los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, poco a poco, se han visto enfrentados a transformaciones significativas propiciados por los cambios tecnológicos, que imponen, tanto a profesores como a alumnos, el desarrollo de nuevas competencias que les permiten nuevas experiencias para la comprensión de los conceptos objeto de estudio. Debido a estos cambios, el área de matemáticas en todos los niveles escolares ha comenzado a sufrir transformaciones, entre las cuales se pueden resaltar: introducción de nuevas materias, fusión entre distintos cursos, eliminación de cursos que eran considerados como indispensables para muchas carreras y reordenamiento de cursos dentro de un plan de estudios. Estos cambios están motivados por la capacidad de los ordenadores, a través de software especializado, de realizar muchas operaciones en muy poco tiempo, pensando que lo importante es obtener una respuesta que se requiere para continuar con un proceso o simplemente para comprobar la solución de un problema o ejercicio. No se tiene en cuenta que la mente humana requiere de un periodo de adaptación y maduración [vanHiele1986] de los nuevos conceptos estudiados. En este último aspecto, la tecnología puede jugar un papel importante en la creación de experiencias significativas de aprendizaje para que los alumnos adquieran comprensiones más profundas de los conceptos matemáticos, integrándolos y relacionándolos con objetos del mundo real. La nueva tecnología le ha impuesto nuevos retos a la docencia de las ciencias en general y de la matemática en particular. En la actualidad, además de las competencias propias del área en que un profesor se desempeña, se requiere que integre en su hacer las innovaciones tecnológicas específicas y que para presentarlas a sus alumnos lo haga con una pedagogía apropiada. La tecnología puede ayudar a los alumnos a: promover la comprensión, construir procesos en los cuales le den nuevos significados a los conceptos involucrados, hacer apropiadas representaciones y modelos, usar simulaciones, promover actividades de descubrimiento, contrastar y reformular concepciones erróneas, entre otras [Nickerson1995]. Hasta principios de la década de los ochenta se pensaba que la ciencia tenía una didáctica general, pero a partir de ese momento se comenzaron a desarrollar didácticas específicas para cada rama de la ciencia, es así como se comienza a construir una didáctica para la enseñanza de la matemática y a desarrollar modelos pedagógicos propios, tales como el modelo educativo de van Hiele [vanHiele1986] para la enseñanza de la geometría que se ha extendido a otras ramas de la matemática o adaptar otros, como la pedagogía de la Enseñanza para Comprensión [Blythe1999] desarrollado en la década de los noventa en la Universidad de Harvard. Es así, como se comienza a instituir una nueva profesión: la de Educador Matemático, avalada por el gran auge que tienen en la actualidad los congresos internacionales y nacionales, en los que se tratan temas específicos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, los grupos de investigación internacionales y nacionales dedicados a este tema, las publicaciones especializadas que realiza cada año la American Mathematical Society, para la cual la Educación Matemáticas es una de las áreas en las cuales divide la matemática. Por ello, el profesor de matemáticas en la actualidad, debe conocer sobre la didáctica de las matemáticas, involucrar elementos pedagógicos que le permitan tener un acercamiento más real y efectivo con sus alumnos, conocer y aplicar las nuevas tecnologías apropiadas para la enseñanza y el aprendizaje de los conceptos a impartir. Todo esto le impone un nuevo reto al profesor de matemáticas: ser agente motivador del cambio para ayudarle a sus alumnos a desarrollar las nuevas competencias que la tecnología impone.
sábado, 22 de junio de 2013
REALIDAD AUMENTADA
Introducción Los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, poco a poco, se han visto enfrentados a transformaciones significativas propiciados por los cambios tecnológicos, que imponen, tanto a profesores como a alumnos, el desarrollo de nuevas competencias que les permiten nuevas experiencias para la comprensión de los conceptos objeto de estudio. Debido a estos cambios, el área de matemáticas en todos los niveles escolares ha comenzado a sufrir transformaciones, entre las cuales se pueden resaltar: introducción de nuevas materias, fusión entre distintos cursos, eliminación de cursos que eran considerados como indispensables para muchas carreras y reordenamiento de cursos dentro de un plan de estudios. Estos cambios están motivados por la capacidad de los ordenadores, a través de software especializado, de realizar muchas operaciones en muy poco tiempo, pensando que lo importante es obtener una respuesta que se requiere para continuar con un proceso o simplemente para comprobar la solución de un problema o ejercicio. No se tiene en cuenta que la mente humana requiere de un periodo de adaptación y maduración [vanHiele1986] de los nuevos conceptos estudiados. En este último aspecto, la tecnología puede jugar un papel importante en la creación de experiencias significativas de aprendizaje para que los alumnos adquieran comprensiones más profundas de los conceptos matemáticos, integrándolos y relacionándolos con objetos del mundo real. La nueva tecnología le ha impuesto nuevos retos a la docencia de las ciencias en general y de la matemática en particular. En la actualidad, además de las competencias propias del área en que un profesor se desempeña, se requiere que integre en su hacer las innovaciones tecnológicas específicas y que para presentarlas a sus alumnos lo haga con una pedagogía apropiada. La tecnología puede ayudar a los alumnos a: promover la comprensión, construir procesos en los cuales le den nuevos significados a los conceptos involucrados, hacer apropiadas representaciones y modelos, usar simulaciones, promover actividades de descubrimiento, contrastar y reformular concepciones erróneas, entre otras [Nickerson1995]. Hasta principios de la década de los ochenta se pensaba que la ciencia tenía una didáctica general, pero a partir de ese momento se comenzaron a desarrollar didácticas específicas para cada rama de la ciencia, es así como se comienza a construir una didáctica para la enseñanza de la matemática y a desarrollar modelos pedagógicos propios, tales como el modelo educativo de van Hiele [vanHiele1986] para la enseñanza de la geometría que se ha extendido a otras ramas de la matemática o adaptar otros, como la pedagogía de la Enseñanza para Comprensión [Blythe1999] desarrollado en la década de los noventa en la Universidad de Harvard. Es así, como se comienza a instituir una nueva profesión: la de Educador Matemático, avalada por el gran auge que tienen en la actualidad los congresos internacionales y nacionales, en los que se tratan temas específicos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, los grupos de investigación internacionales y nacionales dedicados a este tema, las publicaciones especializadas que realiza cada año la American Mathematical Society, para la cual la Educación Matemáticas es una de las áreas en las cuales divide la matemática. Por ello, el profesor de matemáticas en la actualidad, debe conocer sobre la didáctica de las matemáticas, involucrar elementos pedagógicos que le permitan tener un acercamiento más real y efectivo con sus alumnos, conocer y aplicar las nuevas tecnologías apropiadas para la enseñanza y el aprendizaje de los conceptos a impartir. Todo esto le impone un nuevo reto al profesor de matemáticas: ser agente motivador del cambio para ayudarle a sus alumnos a desarrollar las nuevas competencias que la tecnología impone.
sábado, 1 de junio de 2013
Utilización del Solver para Investigación de Operaciones
La herramienta de optimización Solver Standard del Excell permite resolver modelos de Programación Lineal, Programación Lineal Entera y Programación No Lineal de hasta aproximadamente 150 variables. Su pantalla se encuentra en el menú Herramientas --> Solver , lo que es prudente verificar antes de cargar el modelo a resolver. En caso de no tenerlo instalado hay que ir al menú Herramientas --> Complementos y aparecerá la siguiente pantalla:
y en ella se tendrá que tildar la ventanita Solver. Si no apareciera la ventanita de Solver en la pantalla “Complementos” ello sería señal que el Excel no ha sido cargado en forma completa y se tendrá que recurrir al CD del Office para cargarlo nuevamente. Luego de haberlo instalado se procede a la carga del modelo en la planilla de Excel correspondiente. Se recomienda poner todos los datos del modelo, tanto sean los coeficientes de las variables de la función objetivo, los coeficientes de las restricciones así como los términos independientes, en celdas de la planilla y luego referenciar en las fórmulas de las funciones que se construyan a esas celdas, en lugar de cargar esos coeficientes directamente en las fórmulas. A continuación se presentará una aplicación y se mostrará paso a paso el uso de la herramienta Solver. Una empresa va a lanzar al mercado un nuevo producto. Los planes de promoción para el próximo mes están en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad así como los costos y la audiencia estimada por unidad de publicidad se muestran a continuación :
Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio debe ser igual al 50% de unidades de publicidad autorizadas. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a Bs. 18.500,00. Se necesita determinar el plan óptimo para maximizar la audiencia total o cantidad de personas que vean la publicidad. SOLUCIÓN : Variables de decisión: T = Unidades de publicidad a contratar en televisión. R = Unidades de publicidad a contratar en radio. P = Unidades de publicidad a contratar en prensa. Objetivo : Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que vean la publicidad. Z = 100.000 T + 18.000 R + 40.000 P Restricción 1 : Presupuesto total para promociones se ha limitado a Bs. 18.500,00. 2.000 T + 300 R + 600 P ≤ 18.500 Restricción 2 : La publicidad en radio debe ser igual al 50% de unidades de publicidad autorizadas. R = 0,50 (T+R+P) Restricción que al ser simplificada quedará expresada como : – 0,50 T + 0,50 R – 0,50 P = 0 Restricción 3 : La cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado. T ≥ 0,10 (T+R+P) Restricción que al ser simplificada quedará expresada como : 0,90 T – 0,10 R – 0,10 P ≥ 0 Coloque en la FILA 3 los valores que acompañan las incógnitas o variables de decisión en la función objetivo Z Introduzca las restricciones que aparecen en el modelo matemático. Sea muy cuidadoso en el uso de los signos. Nota: Para escribir el signo “=” en alguna celda se recomienda presionar una vez la tecla espaciadora y después “=”. 
Introduzca “ceros” en las celdas donde usted quiere que se reflejen los resultados de “T”, “R” y “P” (en este caso B10, C10 y D10). 
Introduzca las fórmulas en las celdas H5, H6 y H7 ; ellas reflejarán los valores que adquieren las condiciones de restricción una vez resuelto el problema. Nota: Estas fórmulas se pueden escribir con el uso del tablero, o con el uso del “mouse” colocándose sobre la celda donde está el valor que quiere introducir y haciendo “clic” sobre ella. - Celda H5 =B5*B10+C5*C10+D5*D10 - Celda H6 =B6*B10+C6*C10+D6*D10 - Celda H7 =B7*B10+C7*C10+D7*D10 
(En la hoja de cálculo se reflejarán “ceros” inicialmente) Introduzca la fórmula de la función objetivo en la celda H10. - Celda H10 =B3*B10+C3*C10+D3*D10 
En ella se reflejará el valor de Zmáximo una vez aplicado “Solver”. Inicialmente reflejará cero. Una vez que se introduce el modelo en la hoja de cálculo, es sencillo analizar soluciones potenciales. Cuando se dan valores a las variables de decisión (celdas B10, C10 y D10), la columna “H” muestra de inmediato los valores de cada condición de restricción (celdas H5 hasta H7) y la celda H10 muestra la audiencia total. Haga una prueba con este ejercicio y coloque “1” en las celdas B10, C10 y D10 respectivamente. Si ha llenado bien su hoja de cálculo en la pantalla de su PC aparecerán los valores que mostramos a continuación: 
Para calcular el valor de Z máximo, se utiliza una herramienta que incluye Excel llamada “ SOLVER”. Para correr el Solver primero haga “clic” en el menú “Datos”. 
Posteriormente haga “clic” sobre el logotipo de “SOLVER” en la parte superior derecha de la pantalla. 
En caso de que su computador no muestre en el menú “Datos” el comando “Solver”; haga “clic” en el “Botón de Oficce” que se encuentra en la parte superior izquierda de la pantalla; posteriormente haga “clic” en “Opciones de Excel” (parte inferior central); haga “clic” en “Complementos” (lado izquierdo de la pantalla); haga “clic” en el recuadro “ir…” (parte inferior central); haga “clic” en el recuadro que está al lado izquierdo de la palabra “Solver” y una vez que aparezca indicado el testigo haga “cilc” en la palabra “Aceptar” (parte superior derecha). NOTA IMPORTANTE: Si cuando trata de instalar “SOLVER” recibe un mensaje de que no es posible su instalación, lo más probable es que usted tenga instalada en su computador la “versión resumida” de MICROSOFT OFFICE. En tal caso se recomienda ir a su proveedor y exigir que le instale la “versión completa”. Una vez instalado haga clic en “Solver” y se mostrará un cuadro de diálogo “Parámetros de Solver” 
Antes de que “Solver” pueda resolver el problema, necesita conocer con exactitud, donde se localizan los componentes del modelo en la hoja de cálculo. Es posible escribir las direcciones de las celdas o hacer clic en ellas. En el espacio superior izquierdo del cuadro de diálogo mostrado, donde se solicita la “Celda objetivo” coloque $H$10. (Es más cómodo colocarse sobre la celda H10 y hacer “clic”) En los círculos blancos donde se solicita el “Valor de la celda objetivo” indique “Máximo”. El modelo matemático pide maximizar Z .(haga clic sobre la palabra máximo). En el espacio central izquierdo, donde se solicita “Cambiando las celdas” indique las celdas donde se propuso anteriormente que se mostraran los resultados de cada incógnita. En este caso son las celdas B10, C10 y D10, coloque $B$10:$D$10. (También puede colocarse con el “mouse” sobre la celda B10 y manteniendo apretado el botón de la izquierda puede “arrastrar el mouse” hasta la celda D10). 
En el espacio en blanco, en la parte inferior izquierda, “Sujetas a las siguientes Restricciones” indique las restricciones o condiciones del problema, para lo cual haga clic en “Agregar”. En este momento aparecerá en la pantalla el cuadro de diálogo “Agregar Restricción”. 
Coloque: $H$5 < = $F$5 Se la está “ordenando” al programa que lo que se va a gastar en publicidad tiene que ser menor a Bs. 18.500,00 Recuerde que es más fácil hacer “clic” sobre las celdas y el signo que se quieren indicar que escribirlos. 
Ahora haga “clic” en “Agregar” e introduzca la segunda restricción : Se le está “ordenando” al programa que – 0,50 T + 0,50 R – 0,50 P = 0 Nota : Sea muy cuidadoso al introducir las restricciones, sobre todo con los signos de desigualdad o igualdad (es el error más común que se comete). Ahora haga “clic” en “Agregar” e introduzca la tercera restricción 
Se le está “ordenando” al programa que 0,90 T – 0,10 R – 0,10 P ≥ 0 Como ya se introdujeron todas las restricciones haga “clic” en “Aceptar” y se presentará el cuadro de diálogo que resume el modelo completo. 
Antes de pedir a ¨Solver” que resuelva el modelo, haga “clic” en el recuadro “Opciones” (lado central derecho) y aparecerá el cuadro de diálogo “Opciones de Solver”. 
Este cuadro permite especificar las opciones para resolver el modelo. Lo más importante son las opciones “Adoptar Modelo Lineal” y “Adoptar no negativos” (asegúrese de hacer clic sobre ellos y que se enciendan los testigos). Con un clic en “Aceptar” (parte superior derecha) se regresa al cuadro de diálogo “Parámetros de Solver”. ![clip_image027[1]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwnllKZXNFGEDK6DOpSO38xmaIK09TLnidZ5P4bvzmiS-y13h8e0hl-_H9DHh4EzVwvgvQsYCJwsIl5lH6PxqXOevjN3pFaDopkItmCX8bz4KM-TIrgPOYTJhsIy5zVv3uDXJDKA-qnD5l/?imgmax=800 "clip_image027[1]")
Ahora todo está listo para hacer clic en “Resolver” y después de unos segundos Solver indicará los resultados en las celdas B10, C10 y D10, y en la celda objetivo (H10) aparecerá el valor máximo de la función objetivo (Zmáx). En el cuadro final “Resultados de Solver”, haga clic en “Aceptar”. (Verifique primero si Solver ha hallado una solución). 
Y aparecerá la hoja de resultados: 
En muchos problemas prácticos, las variables de decisión o incógnitas tienen un sentido real si su valor es entero. Por ejemplo, si representan el número de unidades que se deben construir, personas que se deban asignar a una actividad, vehículos a fabricar o vender, máquinas a producir o utilizar, etc. En este caso en particular queremos determinar el número de unidades de publicidad. Al observar los resultados podemos notar que los mismos están indicados con decimales y no es lógica la respuesta. En estos casos NO SE RECOMIENDA HACER APROXIMACIONES, generalmente se incurre en errores cuando así se hace. Debemos enfocarlo como un problema de PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA. EJERCICIO PARA ENTREGAR Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.
Restricción 1: 3A + 2B ≤ 120 (con cafeína) Restricción 2: 3A + 4B ≤ 180 (sin cafeína) 
 |
| Televisión | Radio | Prensa | |
| Audiencia por Unidad de Publicidad | 100.000 | 18.000 | 40.000 |
| Costo por Unidad de Publicidad | 2.000,00 | 300,00 | 600,00 |
Introduzca “ceros” en las celdas donde usted quiere que se reflejen los resultados de “T”, “R” y “P” (en este caso B10, C10 y D10). 
Introduzca las fórmulas en las celdas H5, H6 y H7 ; ellas reflejarán los valores que adquieren las condiciones de restricción una vez resuelto el problema. Nota: Estas fórmulas se pueden escribir con el uso del tablero, o con el uso del “mouse” colocándose sobre la celda donde está el valor que quiere introducir y haciendo “clic” sobre ella. - Celda H5 =B5*B10+C5*C10+D5*D10 - Celda H6 =B6*B10+C6*C10+D6*D10 - Celda H7 =B7*B10+C7*C10+D7*D10 
(En la hoja de cálculo se reflejarán “ceros” inicialmente) Introduzca la fórmula de la función objetivo en la celda H10. - Celda H10 =B3*B10+C3*C10+D3*D10 
En ella se reflejará el valor de Zmáximo una vez aplicado “Solver”. Inicialmente reflejará cero. Una vez que se introduce el modelo en la hoja de cálculo, es sencillo analizar soluciones potenciales. Cuando se dan valores a las variables de decisión (celdas B10, C10 y D10), la columna “H” muestra de inmediato los valores de cada condición de restricción (celdas H5 hasta H7) y la celda H10 muestra la audiencia total. Haga una prueba con este ejercicio y coloque “1” en las celdas B10, C10 y D10 respectivamente. Si ha llenado bien su hoja de cálculo en la pantalla de su PC aparecerán los valores que mostramos a continuación: 
Para calcular el valor de Z máximo, se utiliza una herramienta que incluye Excel llamada “ SOLVER”. Para correr el Solver primero haga “clic” en el menú “Datos”. 
Posteriormente haga “clic” sobre el logotipo de “SOLVER” en la parte superior derecha de la pantalla. 
En caso de que su computador no muestre en el menú “Datos” el comando “Solver”; haga “clic” en el “Botón de Oficce” que se encuentra en la parte superior izquierda de la pantalla; posteriormente haga “clic” en “Opciones de Excel” (parte inferior central); haga “clic” en “Complementos” (lado izquierdo de la pantalla); haga “clic” en el recuadro “ir…” (parte inferior central); haga “clic” en el recuadro que está al lado izquierdo de la palabra “Solver” y una vez que aparezca indicado el testigo haga “cilc” en la palabra “Aceptar” (parte superior derecha). NOTA IMPORTANTE: Si cuando trata de instalar “SOLVER” recibe un mensaje de que no es posible su instalación, lo más probable es que usted tenga instalada en su computador la “versión resumida” de MICROSOFT OFFICE. En tal caso se recomienda ir a su proveedor y exigir que le instale la “versión completa”. Una vez instalado haga clic en “Solver” y se mostrará un cuadro de diálogo “Parámetros de Solver” 
Antes de que “Solver” pueda resolver el problema, necesita conocer con exactitud, donde se localizan los componentes del modelo en la hoja de cálculo. Es posible escribir las direcciones de las celdas o hacer clic en ellas. En el espacio superior izquierdo del cuadro de diálogo mostrado, donde se solicita la “Celda objetivo” coloque $H$10. (Es más cómodo colocarse sobre la celda H10 y hacer “clic”) En los círculos blancos donde se solicita el “Valor de la celda objetivo” indique “Máximo”. El modelo matemático pide maximizar Z .(haga clic sobre la palabra máximo). En el espacio central izquierdo, donde se solicita “Cambiando las celdas” indique las celdas donde se propuso anteriormente que se mostraran los resultados de cada incógnita. En este caso son las celdas B10, C10 y D10, coloque $B$10:$D$10. (También puede colocarse con el “mouse” sobre la celda B10 y manteniendo apretado el botón de la izquierda puede “arrastrar el mouse” hasta la celda D10). 
En el espacio en blanco, en la parte inferior izquierda, “Sujetas a las siguientes Restricciones” indique las restricciones o condiciones del problema, para lo cual haga clic en “Agregar”. En este momento aparecerá en la pantalla el cuadro de diálogo “Agregar Restricción”. 
Coloque: $H$5 < = $F$5 Se la está “ordenando” al programa que lo que se va a gastar en publicidad tiene que ser menor a Bs. 18.500,00 Recuerde que es más fácil hacer “clic” sobre las celdas y el signo que se quieren indicar que escribirlos. 
Ahora haga “clic” en “Agregar” e introduzca la segunda restricción : Se le está “ordenando” al programa que – 0,50 T + 0,50 R – 0,50 P = 0 Nota : Sea muy cuidadoso al introducir las restricciones, sobre todo con los signos de desigualdad o igualdad (es el error más común que se comete). Ahora haga “clic” en “Agregar” e introduzca la tercera restricción 
Se le está “ordenando” al programa que 0,90 T – 0,10 R – 0,10 P ≥ 0 Como ya se introdujeron todas las restricciones haga “clic” en “Aceptar” y se presentará el cuadro de diálogo que resume el modelo completo. 
Antes de pedir a ¨Solver” que resuelva el modelo, haga “clic” en el recuadro “Opciones” (lado central derecho) y aparecerá el cuadro de diálogo “Opciones de Solver”. 
Este cuadro permite especificar las opciones para resolver el modelo. Lo más importante son las opciones “Adoptar Modelo Lineal” y “Adoptar no negativos” (asegúrese de hacer clic sobre ellos y que se enciendan los testigos). Con un clic en “Aceptar” (parte superior derecha) se regresa al cuadro de diálogo “Parámetros de Solver”. ![clip_image027[1]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZXntQm0VE7DBJs-eQGuiOzUZ2nCmbCdcSi4iCcjo6J-wgOaAmEOhyphenhyphenIrrWDWFe_CdMg_1OPypI_IWBTO0dVd_qIro10akG7s1vURHePwFf-PrIAmT7PEr0snVWcqrCph9M-J4RVPZzd7QZ/s1600-h/clip_image027%25255B1%25255D%25255B2%25255D.png "clip_image027[1]")
Ahora todo está listo para hacer clic en “Resolver” y después de unos segundos Solver indicará los resultados en las celdas B10, C10 y D10, y en la celda objetivo (H10) aparecerá el valor máximo de la función objetivo (Zmáx). En el cuadro final “Resultados de Solver”, haga clic en “Aceptar”. (Verifique primero si Solver ha hallado una solución). 
Y aparecerá la hoja de resultados: 
En muchos problemas prácticos, las variables de decisión o incógnitas tienen un sentido real si su valor es entero. Por ejemplo, si representan el número de unidades que se deben construir, personas que se deban asignar a una actividad, vehículos a fabricar o vender, máquinas a producir o utilizar, etc. En este caso en particular queremos determinar el número de unidades de publicidad. Al observar los resultados podemos notar que los mismos están indicados con decimales y no es lógica la respuesta. En estos casos NO SE RECOMIENDA HACER APROXIMACIONES, generalmente se incurre en errores cuando así se hace. Debemos enfocarlo como un problema de PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA. EJERCICIO PARA ENTREGAR Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste. | A | B | Disponibilidad | |
| Refrescos con cafeína | 3 | 2 | 120 |
| Refrescos sin cafeína | 3 | 4 | 180 |
miércoles, 29 de mayo de 2013
Tomado de la página de la Secretaría del Senado de
la república de Colombia.
LEY 725 DE 2001
(diciembre 27)
Diario Oficial
No 44.662, de 30 de diciembre de 2001
Aor la cual se
establece el Día Nacional de la Afrocolombianidad.
EL
CONGRESO DE COLOMBIA
DECRETA:
ARTÍCULO
1o. Establécese el Día Nacional de la Afrocolombianidad, el cual se
celebrará el veintiuno (21) de mayo de cada año.
ARTÍCULO
2o. En homenaje a los Ciento Cincuenta (150) años de abolición de la
esclavitud en Colombia consagrada en la Ley 21 de mayo 21 de 1851, en
reconocimiento a la plurietnicidad de la Nación Colombiana y la necesidad que
tiene la población afrocolombiana de recuperar su memoria histórica, se
desarrollará una campaña de conmemoración que incluya a las organizaciones e instituciones
que adelanten acciones en beneficio de los grupos involucrados en este hecho
histórico, cuya coordinación estará a cargo de la Dirección General de
Comunidades Negras, Minorías Etnicas y Culturales del Ministerio del Interior.
ARTÍCULO
3o. El Gobierno Nacional queda autorizado para efectuar las apropiaciones
presupuestales necesarias y realizar los traslados requeridos para el
cumplimiento de la presente ley.
El Presidente
del honorable Senado de la República,
CARLOS
GARCÍA ORJUELA.
El Secretario
General del honorable Senado de la República (E.),
LUIS
FRANCISCO BOADA GÓMEZ.
El Presidente
de la honorable Cámara de Representantes,
GUILLERMO
GAVIRIA ZAPATA.
El Secretario
General de la honorable Cámara de Representantes,
ANGELINO
LIZCANO RIVERA.
REPÚBLICA
DE COLOMBIA – GOBIERNO NACIONAL
PUBLÍQUESE Y
CÚMPLASE.
Dada en Bogotá,
D. C., a 27 de diciembre de 2001.
ANDRES
PASTRANA ARANGO
El Ministro del
Interior,
ARMANDO
ESTRADA VILLA.
La Viceministra
Técnica del Ministerio de Hacienda y Crédito Público, Encargada de las
Funciones del Despacho del Ministro de Hacienda y Crédito Público,
CATALINA CRANE DURÁN.
Video de afrocolombianidad
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